समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

 

प्रश्न 1.
AP: 121, 117, 113 ………… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
हल:
यहाँ AP का a = 121, d = 117 – 121 = -4
an < 0 प्रथम ऋणात्मक पद
चूँकि an = a + (n – 1) d < 0
⇒ 121 + (n – 1) (-4) < 0
⇒ 121 – 4n + 4 < 0
⇒ 125 – 4n < 0
⇒ 4n > 125
⇒ n > 1254 ⇒ n > 31 14
अत: अभीष्ट 32वाँ पद प्रथम ऋणात्मक होगा।

प्रश्न 2.
किसी AP के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गुणनफल 8 है। इस AP के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल:
∵ a3 + a7 = (a + 2d) + (a + 6d) = 6 (दिया है)
⇒ 2a + 8d = 6 ⇒ a + 4d = 3 …….(1)
एवं a3.a7 = (a + 2d).(a + 6d) = 8 (दिया है।)
⇒ a2 + 6ad + 2ad + 12d2 = 8
⇒ a2 + 8ad + 12d2 = 8 ……(2)
समीकरण (1) से a = (3 – 4d) का मान समीकरण (2) में रखने पर,
(3 – 4d)2 + 8(3 – 4d) (d) + 12d2 = 8
⇒ 9 – 24d + 16d2 + 24d – 32d2 + 12d2 = 8
⇒ 28d2 – 32d2 + 24d – 24d = 8 – 9
⇒ -4d2 = -1 ⇒ 4d2 = 1
⇒ d2 = 14 ⇒ d = ± 14−−√ = ±12
d = + 12 समीकरण (1) में रखने पर,
a + 4 (12) = 3 ⇒ a = 3 – 2 = 1
एवं d = – 12 समीकरण (1) में रखने पर,

अतः प्रथम 16 पदों का अभीष्ट योग 76 अथवा 20 है।

प्रश्न 3.
एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। (देखिए संलग्न आकृति 5.4) डण्डों की लम्बाई एक समान रूप से घटती जाती है तथा सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 cm है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 212 m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई 25 cm की आवश्यकता होगी?
हल:

आकृति 5.4

चूँकि डण्डों की संख्या = 25025 + 1 = 10 + 1 = 11
डण्डों की लम्बाई ऊपर से नीचे क्रमशः
25 cm, (25 + d) cm, (25 + 2d) cm, ………. = 45 cm.
जो AP का निर्माण करती है?
जहाँ a = 25 cm, an = 45 cm एवं n = 11
∴ Sn = n2 [a + an]
= 112 [25 + 45] = 112 × 70
= 11 × 35
= 385 cm अर्थात् 3.85 m
अतः लकड़ी की कुल अभीष्ट लम्बाई = 385 cm अर्थात् 3.85 m है।

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x.का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
हल:
मकानों के क्रमांक क्रमशः 1, 2, 3, 4, ………….., 49 हैं जो एक AP का निर्माण करते हैं।
जहाँ a = 1 एवं d = 2 – 1 = 1 एवं n = 49.
प्रश्नानुसार, चूँकि Sx-1 = S49 – Sx

अतः x का अभीष्ट मान = 35 है।

प्रश्न 5.
एक फुटबॉल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है, जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (Concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 14 m की चढ़ाई है और 12 m का फैलाव (चौड़ाई) है। (देखिए संलगन आकृति 5.5) इस चबूतरे को बनाने में लगी कुल कंक्रीट का आयतन परिकलित कीजिए।

हल:
पहली सीढ़ी का आयतन = 14 × 12 × 50 = 254 m3
दूसरी सीढ़ी का आयतन = 14 × 1 × 50 = 504 m3
तीसरी सीढ़ी का आयतन = 14 × 32 × 50 = 754 m3
…………………………….
…………………………….
अतः सीढ़ियों के आयतन क्रमशः (ऊपर से नीचे की ओर). 254 m3, 504 m3, 754 m3, ……………..15 पद एक AP का निर्माण करते हैं,

अतः कंक्रीट का अभीष्ट आयतन 750 m3 होगा।