समान्तर श्रेढ़ियाँ Ex 5.1

 

प्रश्न 1.
निम्नलिखित स्थितियों में से किन स्थितियों में सम्बद्ध संख्याओं की सूची A.P. है और क्यों?
(i) प्रत्येक किलोमीटर के बाद का टैक्सी का किराया जबकि प्रथम किलोमीटर के लिए किराया ₹ 15 है और प्रत्येक अतिरिक्त किलोमीटर के लिए किराया ₹ 8 है।
(ii) किसी बेलन (Cylinder) में उपस्थित हवा की मात्रा, जबकि वायु निकालने वाला पम्प प्रत्येक बार बेलन की शेष हवा का – भाग बाहर निकाल देता है।
(iii) प्रत्येक मीटर की खुदाई के बाद, एक कुआँ खोदने में आई लागत जबकि प्रथम मीटर खुदाई की लागत ₹ 150 है और बाद में प्रत्येक मीटर की खुदाई की लागत ₹ 50 बढ़ती जाती है।
(iv) खाते में प्रत्येक वर्ष का मिश्रधन, जबकि ₹ 10,000 की राशि 8% वार्षिक की दर से चक्रवृद्धि ब्याज पर जमा की जाती है।
हल:
(i) हाँ, 15, 23.31, 39, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चत संख्या 8 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(ii) नहीं, आयतन V,3V4,(34)2 V,(34)3 …… क्योंकि सार्वान्तर समान नहीं है।
(iii) हाँ, खुदाई की लागत ₹ 150, 200, 250, 300, ………… एक A.P. बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक अगला पद पिछले पद में एक निश्चित संख्या 50 जोड़ने से प्राप्त होता है।
(iv) नहीं, राशियाँ 10,000 (1 + 8100). 10,000 (1 + 8100)2 , 10,000 (1 + 8100)3, 10,000 (1 + 8100)4 …………. सार्वान्तर समान नहीं हैं।

प्रश्न 2.
दी हुई A.P. के प्रथम चार पद लिखिए, जबकि प्रथम पद और सार्वान्तर में निम्नलिखित हैं :
(i) a = 10, d = 10
(ii) a = – 2,d = 0
(iii) a = 4, d = -3
(iv) a = – 1, d =
(v) a = -1, d = 12
हल:
(i) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 10, 20, 30, 40
(ii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : -2, -2, -2, -2
(iii) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : 4, 1, -2, -5
(iv) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1, –12, 0, 12.
(v) अभीष्ट प्रथम चार पद हैं : – 1-25, -1:50, -1.75, -2.00

प्रश्न 3.
निम्नलिखित में से प्रत्येक A.P. के लिए प्रथम पद तथा सार्वान्तर लिखिए :
(i) 3, 1,-1,-3, ……….
(ii) -5, -1, 3, 7, ………….
(iii) 13,53,93,133 ………….
(iv) 0.6, 1.7, 2.8, 3:9 ………….
हल:
(i) प्रथम पद: a = 3 एवं सार्वान्तर d = 1 – 3 = -2.
(ii) प्रथम पद a = -5 एवं सार्वान्तर d = (-1) – (-5) = -1 + 5 = 4
(iii) प्रथम पद : a = 13 एवं सार्वान्तर d = 53 – 13 = 43
(iv) प्रथम पद : a = 0.6 एवं सार्वान्तर d = 1.7 – 0.6 = 1.1.

प्रश्न 4.
निम्नलिखित में से कौन-कौन A.P. है? यदि कोई A.P. है, तो इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए और इनके तीन पद और लिखिए :
(i) 2, 4, 8, 16, …………..
(ii) 2,52,3,72 ………………
(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..
(iv) -10, -6, -2, 2, ……….
(v) 3,3 + 2–√, 3 + 2 2–√, 3 + 32–√ ……………..
(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….
(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
(viii) –12,-12,-12,-12
(ix) 1,3,9,27, ………..
(x) a, 2a, 3a, 4a, …………
(xi) a,a2,a3,a4, …………..
(xii) 2–√, 8–√, 18−−√, 32−−√, ………………..
(xiii) 3–√, 6–√, 9–√, 12−−√, ………………..
(xiv) 12, 32, 52, 72, ………………
(xv) 12,52,72,73, ………………
हल:
(i) 2, 4, 8, 16,………………

⇒ (a2 – a1) ≠ (a3 – a2) ≠ (a4 – a3)
अतः यह A.P. नही है।

(ii) 2,52,3,72 ………………

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = 12 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः = (72 + 12 = 4),(4 + 12 = 92) एवं (92 + 12 = 5)
अत: यह A.P. है तथा इसका सार्वान्तर d = 12 है, एवं इसके अगले तीन पद क्रमशः 4,92 एवं 5 हैं।

(iii) -1.2, -3.2, -5.2, -7.2, ………..

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = – 2 [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-7.2, -2 = -9.2)
(-9.2 -2 = -11.2) एवं (-11.2 – 2 = -13.2)
अतः यह A.P. है जिसका सार्वान्तर d = -2 है तथा अगले तीन पद क्रमशः -9.2, -11.2 एवं -13.2 हैं।

(iv) -10, -6, -2, 2, ……….

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = 4 [सान्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (2 + 4) = 6, (6 + 4)= 10 एवं (10 + 4)= 14.
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 4 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः 6, 10 एवं 14 हैं।

(v) 3,3 + 2–√, 3 + 2 2–√, 3 + 32–√ ……………..

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = 2–√ [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (3 + 32–√ + 2–√ = 3 + 42–√), (3 + 42–√ + 2–√ = 3 + 52–√),
एवं (3 + 52–√ + 2–√ = 3 + 62–√)
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 2–√ है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः
(3 + 4 2–√), (3 + 52–√) एवं (3 + 62–√) हैं।

(vi) 0.2, 0.22, 0.222, 0.2222 ………………….

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(vii) -1,-4,-8,-12 ……………..
⇒ a2 – a1 = (-4) – (0) = -4
a3 – a2 = (-8) – (-4) = -4
a4 – a3 = (-12) – (-8) = -4
⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3)= -4 [सावन्तिर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (-12 -4 = -16); (-16 -4 = -20) एवं (-20 -4) = -24.
अत: यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = – 4 तथा इसके अलगे तीन पद : -16, -20 एवं -24 हैं।

(viii) –12,-12,-12,-12

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = 0 [सान्तिर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (-12 + 0 = – 12), (-12 + 0 = – 12 एवं (-12 + 0 = – 12)
अतः यह एक A.P. है जिसका सार्वान्तर d = 0 है तथा इसके अगले तीन पद क्रमशः – 12, – 12 एवं –12 हैं।

(ix) 1,3,9,27, ………..

अतः यह A.P. नहीं हैं।

(x) a, 2a, 3a, 4a, …………

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = a [सार्वान्तर (d)]
⇒ अगले तीन पद क्रमशः (4a + a = 5a), (5a+a = 6a) एवं (6a + a = 7a).
अतः यह एक AP है जिसका सार्वान्तर d = a है तथा अगले तीन पद 5a, 6a एवं 7a हैं।

(xi) a,a2,a3,a4, …………..

⇒ (a2 – a1) ≠ (a3 – a2) = (a4 – a3)
अत: यह एक A.P. नहीं है।

(xii) 2–√, 8–√, 18−−√, 32−−√, ………………..
अर्थत 2–√,22–√,32–√,42–√,………………

⇒ (a2 – a1) = (a3 – a2) = (a4 – a3) = 2–√ [सार्वान्तर (d)]
= अगले तीन पद क्रमशः (42–√ + 2–√ = 52–√ = 50−−√)
(52–√ + 2–√ = 62–√ = 72−−√) एवं (62–√ + \(\sqrt { 2 \) = 72–√ = 98−−√)
अत: यह एक A.P. है, जिसका सार्वान्तर d = 2–√ तथा अगले तीन पद क्रमशः 50−−√, 72−−√ एवं 98−−√ हैं।

(xiii) 3–√, 6–√, 9–√, 12−−√, ………………..
a1 = √3, a2 = √6, a3 = √9, a4 = √12
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = √6 – √3 = √3(√2 – 1)
a3 – a2 = √9 – √6 = √3(√3 – √2)
a4 – a3 = √12 – √9 = 2√3 – 3
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत नहीं है।
अत: दिया गया अनुक्रम एक A.P. में नहीं है।

(xiv) 12, 32, 52, 72, ………………
अर्थत 1,9,25,49, ………………..
⇒ a2 – a1 = 9 – 1 = 8
a3 – a2 = 25 – 9 = 16
a4 – a3 = 49 – 25 = 24
= (a2 – a1) ≠ (a3 – a2) ≠ (a4 – a3)
अतः यह एक A.P. नहीं है।

(xv) 12, 52, 72, 73, ………………..
अर्थात् 1, 25, 49, 73 ……………….
a1 = 12, a2 = 52, a3 = 72, a4 = 73,
दो क्रमागत पदों का अन्तर,
a2 – a1 = 52 – 12 = 25 – 1 = 24
a3 – a2 = 72 – 52 = 49 – 25 = 24
a4 – a3 = 73 – 72 = 73 – 49 = 24
दो क्रमागत पदों का अन्तर नियत (24) है।
सार्वान्तर (d) = 24 और दिया गया अनुक्रम एक A.P. में है।
तब, पाँचवाँ पद = चौथा पद + सार्वान्तर (d) = 73 + 24 = 97
छठाँ पद = पाँचवाँ पद + सार्वान्तर (d) = 97 + 24 = 121 = (11)2
सातवाँ पद = छठा पद + सार्वान्तर (d) = (11)2 + 24 = 121 + 24 = 145
अत: दिए गए अनुक्रम के अगले तीन पद : 97, 112, 145 होंगे।