त्रिभुज - 6.5


प्र० 1. कुछ त्रिभुजों की भुजाएँ नीचे दी गई हैं। निर्धरित कीजिए कि इनमें से कौन-कौन से त्रिभुज समकोण त्रिभुज हैं। इस स्थिति में कर्ण की लंबाई भी लिखिए।

(i) 7 cm, 24 cm, 25 cm
(ii) 3 cm, 8 cm, 6 cm
(iii) 50 cm, 80 cm, 100 cm
(iv) 13 cm, 12 cm, 5 cm

हल :
(i) (7)² = 49, (24)² = 576 एवं (25)² = 625
चूँकि 49 + 576 = 625
(7)² + (24)² = (25)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज है, जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 25 cm है।

(ii) यहाँ (3)² = 9, (8)² = 64 एवं (6)² = 36.
चूँकि 9 + 36 = 45 ≠ 64 अर्थात् (3)² + (6)² ≠ (8)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iii) यहाँ (50)² = 2,500, (80)² = 6,400 एवं (100)² = 10,000
चूँकि 2,500 + 6,400 = 8900 + 10,000 अर्थात् (50)² + (80)² ≠ (100)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज समकोण त्रिभुज नहीं है।

(iv) यहाँ (13)² = 169, (12)² = 144 एवं (5)² = 25
चूँकि 144 + 25 = 169
(12)² + (5)² = (13)²
अतः दिया हुआ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसके कर्ण की अभीष्ट लम्बाई 13 cm है।

प्र० 2. PQR एक समकोण त्रिभुज है जिसका कोण P समकोण है तथा QR पर बिंदु M इस प्रकार स्थित है कि PM ⊥ QR है | दर्शाइए कि PM² = QM . MR है|
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 2
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 2.1

प्र० 3. आकृति 6.53 में ABD एक समकोण त्रिभुज है| जिसका कोण A समकोण है तथा AC ⊥ BD है| दर्शाइए कि
(i) AB² = BC . BD
(ii) AC² = BC . DC
(iii) AD² = BD . CD
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 3
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 3.1
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 3.2
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 3.3

प्र० 4. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका कोण C समकोण है| सिद्ध कीजिए कि AB² = 2AC² है|
एनसीईआरटी समाधान कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 4

प्र० 5. ABC एक समद्विबाहु त्रिभुज है जिसमें AC = BC है| यदि AB² = 2AC² है, तो सिद्ध कीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज है|
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 5

प्र० 6. एक समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा 2a है। उसके प्रत्येक शीर्षलंब की लंबाई ज्ञात कीजिए।
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 6
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 6.1

प्र० 7. सिद्ध कीजिए कि एक समचतुर्भुज की भुजाओं के वर्गों का योग उसके विकर्णों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 7
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 7.1

कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 8
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 8.1

प्र० 9. 10 मी. लंबी एक सीढ़ी एक दीवार पर टिकाने पर भूमि से 8 मी. की ऊँचाई पर स्थित एक खिड़की तक पहुंचती है। दीवार के आधार से सीढ़ी के निचले सिरे की दूरी ज्ञात कीजिए।
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 9

प्र० 10. 18 मी. ऊंचे एक ऊर्ध्वाधर खंभे के ऊपरी सिरे से एक तार का एक सिरा जुड़ा हुआ है तथा तार का दूसरा सिरा एक बूंटे से जुड़ा हुआ है। खंभे के आधार से बँटे को कितनी दूरी पर गाड़ा जाए कि तार तना रहे जबकि तार की लंबाई 24 मी. है।
हलः माना AB एक तार तथा BC एक खंभा है।
माना बिन्दु A एक बँटे को प्रकट करता है।
AB = 24 मी. और BC = 18 मी.
अब, समकोण ΔABC में पाईथागोरस प्रमेय द्वारा।
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 10

प्र० 11. एक हवाई जहाज एक हवाई अड्डे से उत्तर की ओर 1000 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। इसी समय एक अन्य हवाई जहाज उसी हवाई अड्डे से पश्चिम की ओर 1200 कि.मी./घं. की चाल से उड़ता है। 112 घंटे के बाद दोनों हवाई जहाजों के बीच की दूरी कितनी होगी?
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 11
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 11.1
कक्षा 10 गणित एनसीईआरटी समाधान त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 11.2

प्र० 12. दो खंभे जिनकी ऊँचाइयाँ 6 मी. और 11 मी. हैं तथा ये समतल भूमि पर खड़े हैं। यदि इनके तलों के बीच की दूरी 12 मी. है तो इनके ऊपरी सिरों के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए।
हलः माना दो खंभे AB और CD है।
खंभों के तलों के बीच की दूरी AC = 12 मी.
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 12

प्र० 13. किसी त्रिभुज ABC जिसका कोण C समकोण है, की भुजाओं CA और CB पर क्रमश: बिंदु D औए E स्थित है| सिद्ध कीजिए कि AE² + BD² = AB² + DE² है|
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 13
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 13.1

प्र० 14. किसी त्रिभुज ABC के शीर्ष A से BC पर डाला गया लंब BC को बिंदु D पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करता है कि DB = 3CD है| सिद्ध कीजिए कि : 2AB² = 2AC² + BC² है|
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 14
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 14.1

प्र० 15. किसी समबाहु त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिंदु D इस प्रकार स्थित है कि BD = 13 BC है। सिद्ध कीजिए कि 9AD² = 7AB² हैं।
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 15
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 15.1

प्र० 16. किसी समबाहु त्रिभुज में, सिद्ध कीजिए कि उसकी एक भुजा के वर्ग का तिगुना उसके एक शीर्षलंब के वर्ग के चार गुने के बराबर होता है|
हलः हमें प्राप्त है कि समबाहु ΔABC में, AD ⊥ BC
हम जानते हैं कि समबाहु A में शीर्षलम्ब संगत भुजा को समद्विभाजित करता है।
D, भुजा BC का मध्यबिन्दु है।
BD = DC [प्रत्येक = 12 BC]
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 16
एनसीईआरटी हल कक्षा 10 गणित त्रिभुज प्रश्नावली 6.5 Q 16.1

प्र० 17. सही उत्तर चुनकर उनका औचित्य दीजिए:
ΔABC में, AB = 63 सेमी., AC = 12 सेमी. अ
BC = 6 सेमी. है। कोण B हैः
(A) 120°
(B) 60°
(C) 90°
(D) 45°
हलः हमें प्राप्त है:
AB = 6√3 सेमी.
AC = 12 सेमी.
BC = 6 सेमी.
AB² = (6√3)² = 36 x 3 = 108
AC² = 12² = 144
BC² = 6² = 36
चूंकि, 144 = 108 + 36
अर्थात् AC² = AB² + BC²
ΔABC एक समकोण त्रिभुज है जिसमें
∠B = 90° है।
अतः उत्तर (C) अर्थात् 90° सही है।