त्रिभुज - 6.3

 

 

Q1. बताइए कि आकृति 6.34 में दिए त्रिभुजों के युग्मों में से कौन – कौन से युग्म समरूप हैं | उस समरूपता कसौटी को लिखिए जिसका प्रयोग आपने उत्तर देनें में किया है तथा साथ ही समरूप  त्रिभुजों को सांकेतिक रूप  में व्यक्त कीजिए |

हल : (i) 

ΔABC तथा ΔPQR में

∠ABC = ∠PQR = 80°

∠BAC = ∠QPR = 60°

∠ACB = ∠PRQ = 40°

∴ AAA समरूपता कसौटी से

ΔABC ~ ΔPQR

हल : (ii) 

हल : (iii) 

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (iv) 

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (v) 

त्रिभुजों का यह युग्म समरूप नहीं है |

हल : (vi) 

Q2. आकृति 6.35 में, ΔODC ~ ΔOBA, ∠BOC = 125o और ∠CDO = 70o  है | ∠DOC, ∠DCO और ∠OAB ज्ञात कीजिए |

हल : ∠DOC + ∠BOC = 180°  (रैखिक युग्म)

⇒ ∠DOC +125o = 180°

⇒ ∠DOC = 180° -125o

⇒ ∠DOC = 55o

अब ΔDOC  में,

∠DOC + ∠CDO + ∠DCO = 180°   (त्रिभुज के तीनों कोणों का योग)

⇒ 55o + 70o + ∠DCO = 180°

⇒ 125o ∠DCO = 180°

⇒ ∠DCO = 180° – 125o

⇒ ∠DCO = 55o

ΔODC ~ ΔOBA (दिया है)

∴ ∠OAB = ∠DCO = 55o

समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं|)

​Q3. समलंब ABCD, जिसमे AB || DC है, के विकर्ण AC और BD परस्पर O पर प्रतिच्छेद करते हैं | दो त्रिभुजों की समरूपता कसौटी का प्रयोग करते हुए,

Q5. DPQR की भुजाओं PR और QR पर क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं कि ∠P = ∠RTS है | दर्शाइए कि ΔRPQ ~ ΔRTS  है |

हल:

दिया है : DPQR की भुजाओं PR और QR पर

क्रमश: बिंदु S और T इस प्रकार स्थित हैं

कि ∠P = ∠RTS है |

सिद्ध करना है : ΔRPQ ~ ΔRTS

प्रमाण : ΔRPQ तथा ΔRTS में,

∠P = ∠RTS   (दिया है )

∠R = ∠R      (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

ΔRPQ ~ ΔRTS

Q6. आकृति 6.37 में, यदि ΔABE ≅ ΔACD है, तो दर्शाइए कि ΔADE ~ ΔABC है | 

Q7. आकृति 6.38 में, DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं तो दर्शाइए कि :  

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

हल:

दिया है : DABC के शीर्षलंब AD और CE परस्पर बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ AEP ~ Δ CDP
(ii) Δ ABD ~ Δ CBE
(iii) Δ AEP ~ Δ ADB
(iv) Δ PDC ~ Δ BEC

प्रमाण :

(i)  Δ AEP तथा Δ CDP में,

∠AEP = ∠CDP  (प्रत्येक 90°)

∠APE = ∠CPD  (शीर्षाभिमुख कोण)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ AEP ~ Δ CDP

(ii) Δ ABD तथा CBE में

∠ADB = ∠CEB  (प्रत्येक 90°)

∠B = ∠B     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABD ~ Δ CBE

(iii)  Δ AEP तथा Δ ADB में

∠AEP = ∠ADB  (प्रत्येक 90°)

∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ AEP ~ Δ ADB

(iv) Δ PDC तथा Δ BEC में

∠PDC = ∠BEC  (प्रत्येक 90°)

∠C = ∠C     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ PDC ~ Δ BEC

Q8. समान्तर चतुर्भुज ABCD की बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है | दर्शाइए कि Δ ABE ~ Δ CFB है | 

हल:

दिया है : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है जिसकी बढाई गई भुजा AD पर स्थित E एक बिंदु है तथा BE भुजा CD को F पर प्रतिच्छेद करती है |

सिद्ध करना है : Δ ABE ~ Δ CFB

प्रमाण : ABCD एक समान्तर चतुर्भुज है |

∠AEB = ∠CBE  …. (1) एकान्तर कोण

Δ ABE तथा Δ CFB में,

∠AEB = ∠CBE  समी० (1) से

∠A = ∠C  (समांतर चतुर्भुज के सम्मुख कोण)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABE ~ Δ CFB

Q9. आकृति 6.39 में, ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं | सिद्ध कीजिए कि :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP 

हल:

दिया है : ABC और AMP दो समकोण त्रिभुज है, जिसके कोण B और M समकोण हैं |

सिद्ध करना है :

(i) Δ ABC ~ Δ AMP

प्रमाण :

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

∠ABC = ∠AMP  (प्रत्येक 90°)

∠A = ∠A     (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

Δ ABC ~ Δ AMP

(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

Q10. CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं | यदि Δ ABC ~ΔFEG है, तो दर्शाइए कि : 

(ii) Δ DCB ~ Δ HGE
(iii) Δ DCA ~ Δ HGF

हल:

दिया है : CD और GH क्रमश: ∠ ACB  और ∠ EGF के ऐसे समद्विभाजक हैं कि बिंदु D और H क्रमश: Δ ABC और ΔFEG की भुजाओं AB और FE पर स्थित हैं और ΔABC ~ ΔFEG है |

(समरूप त्रिभुज के संगत कोण बराबर होते हैं |)

(i)     Δ ABC तथा Δ AMP में

(ii)  Δ DCB तथा Δ HGE में,

∠B = ∠E  समी० (2) से

∠BCD = ∠EGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

A.A समरूपता कसौटी से

Δ DCB ~ Δ HGE

(iii) Δ DCA तथा Δ HGF में
∠A = ∠F  समी० (1) से

∠ACD = ∠FGH  [चूँकि  ½∠C = ½∠G समी० (3) से ]

A.A समरूपता कसौटी से

Δ DCA ~ Δ HGF   Proved

Q11. आकृति 6.40 में, AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है | यदि AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है तो सिद्ध कीजिए कि ΔABD ~ ΔECF है |

हल:

दिया है : AB = AC वाले, एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की बढाई गई भुजा CB पर स्थित E एक बिन्दु है जिसमें AD ⊥ BC और EF ⊥ AC है

सिद्ध करना है :

ΔABD ~ ΔECF

प्रमाण :

ΔABC में,

AB = AC दिया है;

∴ ∠B = ∠C    ……… (1) (बराबर भुजाओं के सम्मुख कोण ….)

अब, ΔABD तथा ΔECF में

∠ADB = ∠EFC (प्रत्येक 90°)

∠B = ∠C    समी० (1) से

A.A समरूपता कसौटी से

ΔABD ~ ΔECF    Proved

Q12. एक त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं (देखिए आकृति 6.41)| दर्शाइए कि ΔABC ~ ΔPQR है | 

हल:

दिया है : त्रिभुज ABC कि भुजाएँ AB और BC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज PQR की क्रमशः भुजाओं PQ और QR तथा माध्यिका PM के समानुपाती हैं |

सिद्ध करना है :

ΔABC ~ ΔPQR

(चूँकि माध्यिकाएँ AD तथा PM BC तथा QR को समद्विभाजित करती हैं |)

Q13. एक त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है | दर्शाइए कि CA2 = CB.CD है |

हल :

दिया है : त्रिभुज ABC की भुजा BC पर एक बिन्दु D इस प्रकार स्थित है कि ∠ADC = ∠BAC है |

सिद्ध करना है : CA2 = CB.CD

प्रमाण :

अब, ΔADC तथा ΔBAC में

∠ADC = ∠BAC ( दिया है )

∠C = ∠C    (उभयनिष्ठ)

A.A समरूपता कसौटी से

ΔADC ~ ΔBAC

(चूँकि समरूप त्रिभुज के संगत भुजाएँ समानुपाती होतीं हैं |)

या   CA2 = CB.CD  (बाई-क्रॉस गुणा करने पर)

Proved 

Q14. एक त्रिभुज ABC की  भुजाएँ AB और AC तथा माध्यिका AD एक अन्य त्रिभुज की भुजाओं PQ और PR तथा माध्यिका PM के क्रमशः समानुपाती हैं | दर्शाइए कि ΔABC ~ΔPQR है |

हल : 

यहाँ माध्यिकाएँ समान अनुपात में हैं इसलिए समान अनुपात की माध्यिकायें जिस भुजा को समद्विभाजित करती है वह भी समानुपाती होता है

Q15. लंबाई 6m वाले एक उध्वार्धर स्तम्भ की भूमि पर छाया की लंबाई 4m है, जबकि उसी समय एक मीनार की छाया की लंबाई 28 m है | मीनार की ऊँचाई ज्ञात कीजिए |