दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (3.5)

 

प्रश्न 1.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से किसका एक अद्वितीय हल है, किसका कोई हल नहीं है या किसके अपरिमित रूप से अनेक हल हैं। अद्वितीय हल की स्थिति में, उसे वज-गुणन विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) x – 3y – 3= 0; 3x – 9y – 2 = 0
(ii) 2x + y = 5; 3x + 2y = 8
(iii) 3x – 5y = 20; 6x – 10y = 40
(iv) x – 3y – 7= 0; 3x – 3y – 15 = 0
हल:
(i) चूंकि x – 3y – 3 = 0 ….(1)
एवं 3x – 9y – 2 = 0 ….(2)

अतः रैखिक समीकरण युग्म का कोई हल नहीं है।

(ii) चूँकि 2x + y = 5 ⇒ 2x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 3x + 2y = 8 ⇒ 3x + 2y – 8 = 0 ….(2)

अतः उक्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब 2x + y – 5 = 0 ….(1)
3x + 2y – 8 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:

अतः रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 2 एवं y = 1 है।

(iii) चूंकि 3x – 5y = 20 ⇒ 3x – 5y – 20 = 0 ….(1)
6x – 10y = 40 ⇒ 6x – 10y – 40 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म के अनन्तशः (अपरिमित) रूप से अनेक हल है।

(iv) चूंकि x – 3y – 7 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y – 15 = 0 ….(2)

अतः दत्त समीकरण युग्म का एक अद्वितीय हल है।
अब x – 3y – 7 = 0 ….(1)
3x – 3y – 15 = 0 ….(2)
वज्रगुणन विधि:


अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल x = 4 एवं y = -1 है।

प्रश्न 2.
(i) a और b के किन मानों के लिए निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म के अपरिमित रूप से अनेक हल होंगे?
2x + 3y = 7
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2
(ii) k के किस मान के लिए, निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई हल नहीं है?
3x + y = 1
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1
हल:
(i) 2x + 3y = 7 ….(1)
(a – b)x + (a + b)y = 3a + b – 2 ….(2)
अपरिमित रूप से अनेक हल के लिए
2(a−b)=3a+b=73a+b−2
⇒ 7(a – b) = 2(3a + b – 2)
⇒ 7a – 7b = 6a + 2b – 4 ….(3)
⇒ a – 9h +4 = 0
एवं 7(a + b)3 (3a + b – 2)
⇒ 7a + 7b = 9a + 3b – 6
⇒ 2a – 4b – 6 = 0 ….(4)
समीकरण (3) और समीकरण (4) से वज्रगुणन विधि द्वारा

अतः a और b के अभीष्ट मान क्रमशः 5 एवं 1 हैं।

(ii) 3x + y = 1 ….(1)
(2k – 1)x + (k – 1)y = 2k + 1 ….(2)
चूँकि रैखिक समीकरणों के युग्म का कोई भी हल न होने की स्थिति में

अतः k का अभीष्ट मान = 2 है।

प्रश्न 3.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म को प्रतिस्थापन एवं वज्रगुणन विधियों से हल कीजिए :
8x + 5y = 9; 3x + 2y = 4.
हल:
प्रतिस्थापन विधि:
8x + 5y = 9 ….(1)
3x + 2y = 4 ….(2)
चूँकि समीकरण (2) से y = 4−3x2 समीकरण (1) में प्रतिस्थापित करने पर हम पाते हैं:
8x + 5 (4−3x2) = 9
⇒ 16x + 20 – 15x = 18
⇒ 16x – 15x = 18 – 20
⇒ x = -2
x का मान समीकरण (1) में रखने पर प्राप्त होता है :
8 (-2) + 5y = 9
⇒ -16 + 5y = 9
⇒ 5y = 9 + 16 = 25
⇒ y = 255 = 5
अतः उक्त समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = -2 और y = 5 है।
अब वज्रगुणन विधि :
8x + 5y – 9 = 0 ….(1)
3x + 2y – 4 = 0 ….(2)

अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म का अभीष्ट हल x = – 2 एवं y = 5 है।
ज्ञातव्य : यहाँ पर दोनों ही विधियाँ उपयुक्त हैं वैसे यह व्यक्तिपरक और प्रश्नपरक होता है कि कहाँ कौन सी विधि अधिक उपयुक्त है।

प्रश्न 4.
निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके हल (यदि उनका आस्तित्व हो) किसी बीजगणितीय विधि से ज्ञात कीजिए:
(i) एक छात्रावास के मासिक व्यय का एक भाग नियत है तथा शेष इस पर निर्भर करता है कि छात्र ने कितने दिन भोजन लिया है। जब एक विद्यार्थी A को, जो 20 दिन भोजन करता है, ₹1000 छात्रावास व्यय के लिए अदा करने पड़ते हैं, जबकि एक विद्यार्थी B को जो 26 दिन भोजन करता है, छात्रावास के व्यय के लिए ₹ 1180 अदा करने पड़ते हैं। नियत व्यय और प्रतिदिन के भोजन का मूल्य ज्ञात कीजिए।
(ii) एक भिन्न हो जाती है, जब उसके अंश में से 1 घटाया जाता है और वह न हो जाती है जब हर में 8 जोड़ दिया जाता है। वह भिन्न ज्ञात कीजिए।
(iii) यश ने एकटेस्ट में 40 अंक अर्जित किए, जब उसे प्रत्येक सही उत्तर पर 3 अंक मिले तथा अशुद्ध उत्तर पर 1 अंक की कटौती की गई। यदि उसे सही उत्तर पर 4 अंक मिलते तथा अशुद्ध उत्तर पर 2 अंक कटते तो यश 50 अंक अर्जित करता है। टेस्ट में कितने प्रश्न थे?
(iv) एक राजमार्ग पर दो स्थान A और B, 100 km की दूरी पर हैं। एक कार A से तथा दूसरी कार B से एक ही समय चलना प्रारम्भ करती हैं। यदि ये कारें भिन्न-भिन्न चालों से एक ही दिशा में चलती हैं, तो वे 5 घण्टे पश्चात् मिलती हैं। यदि ये एक-दूसरे की ओर चलती हैं, तो 1 घण्टे में मिलती हैं। दोनों कारों की चाल ज्ञात कीजिए।
(v) एक आयत का क्षेत्रफल 9 वर्ग इकाई कम हो जाता है, यदि उसकी लम्बाई 5 इकाई कम कर दी जाती है, और चौड़ाई 3 इकाई बढ़ा दी जाती है। यदि हम लम्बाई को 3 इकाई और चौड़ाई को 2 इकाई बढ़ा दें, तो क्षेत्रफल 67 वर्ग इकाई बढ़ जाता है। आयत की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए कि छात्रावास का नियत व्यय ₹x तथा प्रतिदिन के भोजन का व्यय ₹y है, तो
प्रश्नानुसार,
x + 20y = 1000 ….(1)
x + 26y = 1180 ….(2)
⇒ 6y = 180 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
⇒ y = 1806 = 30
y का मान समीकरण (1) में रखने पर
x + 20 × 30 = 1000
⇒ x + 600 = 1000
⇒ x = 1000 – 600 = 400
अतः अभीष्ट नियत व्यय = ₹ 400 एवं प्रतिदिन के भोजन का व्यय = ₹ 30 है।

(ii) मान लीजिए कि भिन्न का अंश x एवं हर y है, तो भिन्न का मान xy होगा।
अब प्रश्नानुसार, x−1y = 13 ⇒ 3x – 3 = y
⇒ 3x – y = 3 ….(1)
एवं xy+8 = 14 ⇒ 4x = y + 8
⇒ 4x – y = 8 ….(2)
⇒ x = 5 [समीकरण (2) – समीकरण (1) से]
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 5 – y = 3 ⇒ 15 – y = 3
⇒ y = 15 – 3 = 12
अतः भिन्न का अभीष्ट मान 512 है।

(iii) मान लीजिए कि यश ने x प्रश्नों के सही उत्तर दिए तथा y प्रश्नों के अशुद्ध उत्तर दिए। इस प्रकार टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y
अब प्रश्नानुसार,
3x – y = 40 ….(1)
एवं 4x – 2y = 50 ….(2)
⇒ 6x – 2y = 80 ….(3)
समीकरण (3) में से समीकरण (2) को घटाने पर, [समीकरण (1) × 2 से]
2x = 30 ⇒ x = 302 = 15
x का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3 × 15 – y = 40 ⇒ 45 – y = 40
⇒ y = 45 – 40 = 5
अब टेस्ट में कुल प्रश्नों की संख्या = x + y = 15 + 5 = 20
अतः टेस्ट में कुल प्रश्नों की अभीष्ट संख्या 20 है।

(iv) मान लीजिए, पहली कार की चाल x किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल किमी/घण्टा है। जब दोनों कारें एक ही दिशा में गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x – y) किमी/घण्टा
तथा जब दोनों कारें एक-दूसरे की ओर गति करें तो उनकी सापेक्षिक चाल = (x + y) किमी/घण्टा
प्रश्नानुसार 100x−y = 5 तथा 100x+y = 1
⇒ x – y = 20 ….(1)
तो x + y = 100 ….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
x = 60 व y = 40
अतः, पहली कार की चाल = 60 किमी/घण्टा तथा दूसरी कार की चाल = 40 किमी/घण्टा है।

(v) मान लीजिए आयत की विमाएँ क्रमशः लम्बाई = x इकाई एवं चौड़ाई = y इकाई, तो उसका क्षेत्रफल = xy वर्ग इकाई होगा।
अब प्रश्नानुसार,
(x – 5) × (y + 3) = xy – 9
⇒ xy + 3x – 5y – 15 = xy – 9
⇒ 3x – 5y = 15 – 9 = 6 ….(1)
एवं (x + 3) (y + 2) = xy + 67
⇒ xy + 2x + 3y + 6 = xy + 67
⇒ 2x + 3y = 67 – 6 = 61 ….(2)
समीकरण (1) से x = 5y+63 समीकरण (2) में रखने पर,
2(5y+63) + 3y = 61
⇒ 10y + 12 + 9y = 183
⇒ 19y = 171 ⇒ y = 17119 = 9
y का मान समीकरण (1) में रखने पर,
3x – 5 × 9 = 6 ⇒ 3x = 6 + 45 = 51
⇒ x = 513 = 17
अतः आयत की अभीष्ट विमाएँ क्रमशः 17 इकाई एवं 9 इकाई हैं।