दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म (3.2)

 प्रश्नावली 3.2

प्रश्न 1. निम्न समस्याओं में रैखिक समीकरणों के युग्म बनाइए और उनके ग्राफीय विधि से हल ज्ञात कीजिए :

(i) कक्षा X के 10 विद्यार्थियों ने एक गणित की पहेली प्रतियोगिता में भाग लिया। यदि लड़कियों की संख्या लड़कों की संख्या से 4 अधिक हो तो प्रतियोगिता में भाग लिये ‘लड़कों और लड़कियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
(ii) 5 पेंसिल तथा 7 कलमों का कुल मूल्य ₹ 50 है जबकि 7 पेंसिल तथा 5 कलमों का मूल्य ₹46 है। एक पेंसिल का मूल्य तथा एक कलम का मूल्य ज्ञात कीजिए।
हल:
(i) मान लीजिए प्रतियोगिता में भाग लेने वाले लड़कों एवं लड़कियों की संख्या क्रमशः x एवं y है तो प्रश्नानुसार,
x + y = 10 ….(1)
⇒ y = 10 – x

एवं y = x + 4 ….(2)

दोनों ग्राफ परस्पर बिन्दु P (3,7) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अत: लड़के एवं लड़कियों की अभीष्ट संख्या क्रमश: 3 एवं 7 है।

(ii) मान लीजिए पेंसिल एवं कलम का मूल्य क्रमशः ₹ x प्रति नग एवं ₹ y प्रति नग है। तो प्रश्नानुसार,
5x + 7y = 50 …(1)
⇒ y = 50−5x7

एवं 7x + 5y = 46 ….(2)
⇒ y = 46−7x5

आकृति : 3.5
चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P (3,5) पर परस्पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः पेंसिल एवं कलम के मूल्य क्रमश ₹ 3 प्रति नग एवं ₹ 5 प्रति नग है।

प्रश्न 2.
अनुपातों a1a2,b1b2 और c1c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं, समानान्तर हैं अथवा सम्पाती हैं।
(i) 5x – 4y + 8 = 0
7x + 6y – 9 = 0
(ii) 9x + 3y + 12 = 0
18x + 6y + 24 = 0
(iii) 6x – 3y + 10 = 0
2x – y + 9 = 0
हल:
(i) चूंकि 5x – 4y + 8 = 0 ….(1)
एवं 7x + 6y – 9 = 0 ….(2)
इसलिए a1a2=57,b1b2=−46 एवं c1c2=8−9=−89
⇒ a1a2≠b1b2
अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ एक बिन्दु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

(ii) चूँकि 9x + 3y + 12 = 0 ….(1)
18x + 6y + 24 = 0 ….(2)

अतः समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ सम्पाती हैं।

(iii) चूँकि 6x – 3y + 10 = 0 …. (1)
एवं 2x – y + 9 = 0 ….(2)

अत: समीकरण युग्म द्वारा निरूपित रेखाएँ समान्तर हैं।

प्रश्न 3.
अनुपातों a1a2,b1b2 और c1c2 की तुलना कर ज्ञात कीजिए कि निम्न रैखिक समीकरणों के युग्म
संगत हैं या असंगत:
(i) 3x + 2y = 5; 2x – 3y = 7
(ii) 2x – 3y = 8; 4x – 6y = 9
(iii) 32 x + 53 y = 7; 9x – 10y = 14
(iv) 5x – 3y = 11; -10x + by = – 22
(v) 43 x + 2y = 8 ; 2x + 3y = 12
हल:
(i) चूँकि 3x + 2y = 5 ⇒ 3x + 2y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x – 3y = 7 ⇒ 2x – 3y – 7 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(ii) चूँकि 2x – 3y = 8 ⇒ 2x – 3y – 8 = 0 ….(i)
एवं 4x – 6y = 9 ⇒ 4x – 6y – 9 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म अंसगत हैं।

(iii) चूँकि 32x + 53 y = 7 ⇒ 9x + 10y – 42 = 0 ….(1)
एवं 9x – 10y = 14 ⇒ 9x – 10y – 14 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(iv) चूँकि 5x – 3y = 11 ⇒ 5x – 3y – 11 = 0 ….(1)
एवं – 10x + 6y = – 22 ⇒ – 10x + 6y + 22 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

(v) चूँकि 43x + 2y = 8 ⇒ 4x + 6y – 24 = 0 ….(1)
एवं 2x + 3y = 12 ⇒ 2x + 3y – 12 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म संपाती हैं)
अत: उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।

प्रश्न 4.
निम्न रैखिक समीकरणों के युग्मों में से कौन से युग्म संगत/असंगत हैं। यदि संगत हैं, तो ग्राफीय विधि से हल कीजिए :
(i) x + y = 5; 2x + 2y = 10
(ii) x – y = 8; 3x – 3y = 16
(iii) 2x + y – 6 = 0; 4x – 2y – 4 = 0
(iv) 2x – 2y – 2 = 0; 4x – 4y – 5 = 0
हल:
(i) चूँकि x + y = 5 ⇒ x + y – 5 = 0 ….(1)
एवं 2x +2y = 10 ⇒ 2x + 2y – 10 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म सम्पाती हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों के युग्म संगत हैं।


चूँकि रेखा युग्म सम्पाती हैं, इसलिए रेखा का प्रत्येक बिन्दु इसका हल होगा।
अतः उक्त रैखिक समीकरण के अनन्तशः अनेक हल होंगे।

(ii) चूंकि x – y = 8 ⇒ x – y – 8 = 0 ….(1)
एवं 3x – 3y = 16 ⇒ 3x – 3y – 16 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समानान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म असंगत है।

(iii) चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म प्रतिच्छेदी हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरणों का युग्म संगत है।
उत्तर रैखिक समीकरण युग्म का ग्राफीय हल :
चूँकि 2x + y – 6 = 0 ….(1)
⇒ y = 6 – 2x

एवं 4x – 2y – 4 = 0 ….(2)
⇒ y = 2x – 2

अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म का अभीष्ट हल (2, 2) है अर्थात् x = 2 एवं y = 2.

(iv) चूँकि 2x – 2y – 2 = 0 ….(1)
एवं 4x – 4y – 5 = 0 ….(2)

(अर्थात् रेखा युग्म समान्तर हैं)
अतः उक्त रैखिक समीकरण युग्म असंगत है।

प्रश्न 5.
एक आयताकार बाग, जिसकी लम्बाई, चौड़ाई से 4 m अधिक है, का अर्ध परिमाप 36 m है। बाग की विमाएँ ज्ञात कीजिए।
हल:
मान लीजिए कि बाग की लम्बाई x m एवं चौड़ाई y m है।
तो प्रश्नानुसार, x = y + 4 …(1)
⇒ y = x – 4

एवं x + y = 36 ….(2)
⇒ y = 36 -x

चूँकि दोनों ग्राफ बिन्दु P(20, 16) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
अतः आयताकार बाग की अभीष्ट विमाएँ 20 m एवं 16 m हैं।

प्रश्न 6.
एक रैखिक समीकरण 2x + 3y – 8 = 0 दी गई है। दो चरों में एक ऐसी और रैखिक समीकरण लिखिए ताकि प्राप्त युग्म का ज्यामितीय निरूपण जैसा कि
(i) प्रतिच्छेद करती रेखाएँ हों।
(ii) समानान्तर रेखाएँ हों।
(iii) सम्पाती रेखाएँ हों।
हल:
सम्भावित उत्तर:
(i) 3x + 2y – 7 = 0
(ii) 4x + 6y – 12 = 0
(iii) 4x + 6y – 16 = 0
ज्ञातव्य : इस प्रश्न के अनेक उत्तर हो सकते हैं।

प्रश्न 7.
समीकरणों x – y + 1 = 0 और 3x + 2y – 12 = 0 का ग्राफ खींचिए। x-अक्ष और इन रेखाओं से बने त्रिभुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए और त्रिभुजाकार पटल को छायांकित कीजिए।
हल:
चूँकि x – y + 1 = 0 …(1)
⇒ y = x + 1

एवं 3x + 2y – 12 = 0 ….(2)
⇒ y = 12−3x2

आकृति : 3.9
अतः दिए हुए रैखिक समीकरण रैखिक निरूपित रेखाओं एवं : अक्ष से बने अभीष्ट त्रिभुज PQR के शीर्षों के अभीष्ट निर्देशांक P (2, 3), Q(-1, 0) और R (4,0) हैं तथा प्राप्त त्रिभुजाकार पटल को उपर्युक्त आकृति में छायांकित किया गया है।