प्रश्नावली 11.2

 

निम्न में से प्रत्येक के लिए रचना का औचित्य भी दीजिएः

प्र० 1. 6 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। केन्द्र से 10 सेमी. दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाइयाँ मापिए।
हलः
रचना के पद
I. एक बिन्दु 0 अंकित करो।
II. केन्द्र O और त्रिज्या 6 सेमी से एक वृत्त खींचो।
III. केन्द्र से 10 सेमी की दूरी पर एक बिन्दु P अंकित करो।
IV. O और P को  मिलाओ।
V. OP को M पर समद्विभाजित करो।
VI. बिन्दु M को केन्द्र लेकर MO या MP के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।
VII. PA और PB को मिलाओ। इस प्रकार, PA और PB दो अभिष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं। मापने पर, PA = PB = 9.6 सेमी.

सत्यापनः OA और OB को मिलाओ चूँकि OP एक व्यास है।
∠OAP = 90°; ∠OBP = 90° [अर्धवृत्त में बने कोण]
पुनः OA और OB एक ही वृत्त की त्रिज्याएँ हैं।
PA और PB वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ है।

प्र० 2. 4 सेमी. त्रिज्या के एक वृत्त पर 6 सेमी. त्रिज्या के एक सकेन्द्रीय वृत्त के किसी बिन्दु से एक स्पर्श रेखा की रचना कीजिए और उसकी लम्बाई मापिए। परिकलन से इस माप की जाँच भी कीजिए।
हलः
रचना के पद
I. 4 सेमी और 6 सेमी त्रिज्या के दो वृत्त एक ही केन्द्र O से खींचो।
II. बड़े वृत्त पर एक बिन्दु P अंकित करो।
III. O और P को मिलाओ।
IV. OP का लम्ब समद्विभाजक M ज्ञात करो।
V. Mको केन्द्र और OM या PM के समान त्रिज्या से एक वृत्त खींचो जो छोटे वृत्त को A और B पर काटे।
VI. A और P को मिलाइए।
इस प्रकार PA अभीष्ठ स्पर्श रेखा है। मापने पर, PA = 4.5 सेमी

सत्यापनः O और A को मिलाओ।
∠PAO = 90° [अर्धवृत्त में बना कोण]
PA ⊥ OA
OA, छोटे वृत्त की त्रिज्या है।
छोटे वृत्त पर PA एक स्पर्श रेखा है।

प्र० 3. 3 सेमी, त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। इसके किसी बढ़ाए गए व्यास पर केन्द्र से 7 सेमी. की दूरी पर स्थित दो बिन्दु P और Q लीजिए। इन दोनों बिन्दुओं से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ खींचिए।
हलः
रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या 3 सेमी का एक वृत्त खींचो।
II. उक्त वृत्त के व्यास को बढ़ाकर, इस पर दो बिन्दु P और 9 इस प्रकार अंकित कीजिए किः
OP = OQ = 7 सेमी
III. OP और OQ के मध्य बिन्दु क्रमश: M1 और M2 ज्ञात कीजिए।

IV. M1 को केन्द्र व M1P को त्रिज्या मानकर एक वृत्त खींचो जो वृत्त को A और B पर काटे।
V. PA और PB को मिलाओ। PA और PB अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ हैं।
VI. अब OQ के मध्य बिन्दु M2 और  M2O के समान त्रिज्या लेकर वृत्त खींचो जो दिए गये वृत्त को C और D पर काटे।
VII. OC और OD को मिलाओ। इस प्रकार OQ और QD अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।
सत्यापनः OA को मिलाओ।

∠OAP = 90°
PA ⊥ OA
PA एक स्पर्श रेखा है।
इस प्रकार, PB ⊥OA
PB एक स्पर्श रेखा है।
अब, OC को मिलाने पर
∠OCQ = 90°
QC ⊥ OC
QC एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, QD ⊥ OC = QD एक स्पर्श रेखा है।

प्र० 4. 5 सेमी, त्रिज्या के एक वृत्त पर ऐसी दो  स्पर्श रेखाएँ खींचिए, जो परस्पर 60° के कोण पर झुकी हों।
हलः
रचना के पद
I. केन्द्र O और त्रिज्या = 5 सेमी से दिये गये वृत्त की रचना करो।
II. ∠AOB = 120° बनाओ।
III. बिन्दु A से OA पर एक लम्ब खींचो।
IV. B से एक लम्ब OB पर खींचो।
V. उक्त लम्बों को C पर मिलने दो।
इस प्रकार CA तथा CB वृत्त की अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है, जो परस्पर 60° पर झुकी हुई हैं।

सत्यापनः चतुभुर्ज OACB में, कोण-योग-गुण से
120° + 90° + 90° + ∠ACB = 360°
⇒ 300° + ∠ACB  = 360°
⇒ ∠ACB = 360° – 300° = 60°

प्र० 5. 8 सेमी. लम्बा एक रेखाखंड AB खींचिए। A को केन्द्र मानकर 4 सेमी. त्रिज्या का एक वृत्त तथा B को केन्द्र लेकर 3 सेमी, त्रिज्या का एक अन्य वृत्त खींचिए। प्रत्येक वृत्त पर दूसरे वृत्त के केन्द्र से स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हलः
रचना के पद
I. A और B को मिलाओ।
II. AB का लम्बसमद्विभाजक ज्ञात करो। माना AB का मध्य बिन्दु M है।
III. केन्द्र M और त्रिज्या = MA या MB लेकर एक वृत्त खींचो जो केन्द्र A वाले वृत्त को P और Q पर काटे, तथा केन्द्र B वाले वृत्त को R और S पर काटे।
IV. BP और BQ को मिलाओ। इस प्रकार,  BP तथा BQ केन्द्र A वाले वृत्त पर B से अभीष्ठ स्पर्श रेखाएँ है।
V. अब, RA और SA को मिलाओ।
इस प्रकार, केन्द्र B वाले वृत्त पर A से स्पर्श रेखाएँ RA तथा SA हैं।

सत्यापनः A और P को मिलाने पर,
∠APB = 90°
BP ⊥ AP
परन्तु AP, केन्द्र A वाले वृत्त की त्रिज्या है।
केन्द्र A वाले वृत्त पर AP एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, BQ भी केन्द्र A वाले वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है। केन्द्र B वाले वृत्त पर भी उक्त प्रकार से AR और AS स्पर्श रेखाएँ हैं।

प्र० 6. माना ABC एक समकोण त्रिभुज है, जिसमें AB = 6 सेमी., BC = 8 सेमी. तथा ∠B = 90° है। B से AC पर BD लम्ब है। बिन्दुओं B, C, D से होकर जाने वाला एक वृत्त खींचा गया है। A से इस वृत्त पर स्पर्श रेखा की रचना कीजिए।
हलः रचना के पद
I. AB = 6 सेमी, BC = 8 सेमी तथा ∠B = 90° मापों से ΔABC की रचना करो।
II. BD ⊥ AC खींचो।
III. B, C और D से होकर एक वृत्त खींचो।
IV. AO को मिलाओ।
V. AO को M पर समद्विभाजित करो।
VI. केन्द्र M और त्रिज्या MA लेकर एक वृत्त  खींचो जो दिये गये वृत्त को B और E पर काटता है।
VII. AB और AE को मिलाओ।
इस प्रकार बिन्दु A से दिए गये वृत्त पर AB और AE स्पर्श रेखाएँ हैं।

सत्यापनः OE को मिलाने पर,
∠AEO = 90° [अर्धवृत्त में बनी कोण]
AE ⊥ OE
परन्तु OE, दिए गये वृत्त की एक त्रिज्या है।
AE वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।
इसी प्रकार, AB भी दिए गये वृत्त की एक स्पर्श रेखा है।

प्र० 7. किसी चूड़ी की सहायता से एक वृत्त खींचिए। वृत्त के बाहर एक बिन्दु लीजिए। इस बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखाओं की रचना कीजिए।
हलः रचना के पद
I. चूड़ी की सहायता से दिए गये वृत्त की रचना करो।
II. दिए गये वृत्त में दो असमान्तर जीवाएँ PQ और RS खींचो।
III. P और RS के लम्बसमद्विभाजक खींचो जो परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करे। इस प्रकार बिन्दु O दिए गये वृत्त का केन्द्र है।
IV. दिए गये वृत्त के बाहर एक बिन्दु P लो।
V. OP को मिलाओ।
VI. OP का मध्य बिन्दु M अंकित करो।
VII. केन्द्र M और त्रिज्या-OM से एक वृत्त खींचो, जो दिए गये वृत्त को A और B पर काटे।।
VIII. PA और PB को मिलाओ।
इस प्रकार PA और PB स्पर्श रेखाएँ हैं।

सत्यापनः OA और OB को मिलाने पर,
∠OAP = 90°, ∠OBP = 90° [अर्धवृत्त में बने कोण]
PA ⊥ OA तथा PB ⊥ OB
PA, दिए गये वृत्त पर एक स्पर्श रेखा है तथा PB,  दिए गये वृत्त पर दूसरी स्पर्श रेखा है।